Список задач, в которых используется понятие линейности.

Задача 1. (101 корова) В стаде 101 корова. Известно, что если убрать любую из коров, то оставшихся можно разделить на две группы по 50 коров с одинаковой суммарной массой в каждой из групп. Докажите, что все веса коров одинаковые.

Задача 2. Прямоугольник разбит на квадраты. Докажите, что отношение сторон прямоугольника рационально.

Задача 3. Прямоугольник разбит на прямоугольники. У каждого прямоугольника разбиения по крайней мере одна сторона имеет целую длину. Докажите, что и у исходного прямоугольника хотя бы одна сторона имеет целую длину.

Задача 4. Можно ли квадрат разрезать на нечетное число равновеликих (по площади) треугольников?

Задача 5. Есть набор лампочек и набор переключателей. Каждая лампочка имеет два состояние: включена и выключена. Каждый выключатель подведен к определенному набору лампочек (для каждого выключателя такой набор свой) и при нажатии на него меняет состояние этих лампочек. Изначально все лампочки выключены.

Задача 6. (TODO: про линейные рекуретные последовательности)

Задача 7. (TODO: алгебраические числа, их сумма и произведение)

Задача 8. На отрезке [0;1] отмечено несколько различных точек. При этом каждая отмеченная точка расположена либо ровно посередине между двумя другими отмеченными точками (не обязательно соседними с ней), либо ровно посередине между отмеченной точкой и концом отрезка. Докажите, что все отмеченные точки рациональны. (ММО 1998.9.6)

Задача 9. Рассмотрим граф без петель и двойных ребер. Каждая вершина раскрашена в белый или черный цвет. *Переключением* вершины называется операция, меняющая цвет самой вершины и всех смежных вершин. Вначале все вершины были белые. Докажите, что можно выполнить несколько переключений так, что все вершины станут черными.